Autres équations de l'étude d'une hyperbole

a. Rappel

Etablir l'équation de l'hyperbole ?

a. Rappel

\(\frac{x^2}{x^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)

Quelle est l'équation de l'excentricité d'une hyperbole ?

L'excentricité d'une hyperbole a pour équation e=\(\frac{c}{a}\)

b. Motivation

Est-ce que nous sommes arrêtés seulement à la formule de l'hyperbole ?

b. Motivation

Nous nous sommes arrêtés à la formule de l'hyperbole.

Que dirons nous si nous étudions d'autres équations liées à l'hyperbole ?

Nous pouvons dire qu'on a aussi étudié d'autres équations liées à l'hyperbole.

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier les autres équations de l'étude d'hyperbole.

Analyse

Que donne sec²∝-tan²∝=?

1. Equation paramétrique de l'hyperbole

On sait que sec²∝-tan²∝=1.

Posons que: \(\frac{x}{a}=sec∝ et \frac{y}{b}=tan∝\)

Remplaçons seca et tana par leurs valeurs et l'équation de l'hyperbole.

Tirons la valeur de x et y dans la condition posée:
 

Quelles sont les équations paramétriques d'une hyperbole ?

x=a sec ∝ et y=b tan ∝. ce sont les équations  paramétrés.

2. Equation de la normale au point M(x_1,x₁) de l'hyperbole.

Soit une équation de la tangente passant par le point M (x₁,x₁) et définie par :

y-y₁=m(x₁,x₁), m=coefficient angulaire.

posons m=\(\frac{-a^2y_1}{b^2x_2}\)

Que devient la formule de l'équation de la normale en remplaçant m par sa valeur ?

L'équation de la tangente devient:

\(y-y_1=\frac{-a^2y_1}{b^2x_1}(x-x_1)\)qui est une équation de la normale au point M.

3. Les asymptôtes

On donne une fonction du premier degré en x et définie par : b²y²-a²x²=0.

Déterminez la valeur de y dans cette fonction ?

y=\(±\frac{\sqrt[]{a^2x^2}}{b^2}=±\frac{ax}{b}\)

y=\(±\frac{ax}{b}\) ce sont les équations des asymptôtes de l'hyperbole.

4. La distance I FF'I=2c distance focale.

5. Longueur de la distance focale (LR)=\(\frac{2b}{a}\)

Etablir les équations liées à l'étude d'une hyperbole:

a. En cas des équations paramétriques, les asymptôtes, équation de la normale au point M(x_1,y₁)?

Equation paramétrique : x=a sec∝ y=b tan ∝

Equations des asymptôtes : y=±\(\frac{a}{b}x\)

Equation de la normale au point M:

y-y₁=\(\frac{-a^2y_1}{b^2x_1}(x-x_1)\)

LR=\(\frac{2b^2}{a}\)

Etablir les équations de la normale en un P(x_o,y_o) et des asymptôtes ?

y-y_o=\(±\frac{-a^2y_o}{b^2x_o}(x-x_o)\)

y=\(±\frac{a}{b}x\)

Etablir les équations de la normale passant par le point B(x₂,y₂) ?