Propriété de la dérivée seconde : sens de concavité et le point d’inflexion

a. Rappel

Déterminez les extremums de cette fonction f(x)=2x²-15x²+36x-14

a. Rappel

f'(x)=6x²-30x+36

f'(x)0↔ x²-5x+6

∆=25-4(1 I  6)

   =1

\(\sqrt[]{∆}=±\sqrt[]{1}=±1\)

f(2)=6.2²-30.2+36-14  f(3)=6.3³-15.3²+36.3-14

     =24-60-36                    =162-135+108-14

     =60-60-14=-14

b. Motivation

Qu'appelle-t-on l'ouverture de la courbe sur cet intervalle ?

b. Motivation

L'ouverture d'une courbe sur un intervalle s'appelle la concavité.

Qu'appelle-t-on le point où la courbe traverse sa tangente ?

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier le sens de concavité et le point d'inflexion.

Qu’est-ce qu’une concavité ?

PROPRIETE DE LA DERIVEE SECONDE

1. Sens de concavité

On appelle concavité d’une courbe, c'est l’ouverture de cette courbe sur cet intervalle.

• La courbe tourne sa concavité vers les y positifs si et seulement si f’ >0
• La courbe tourne sa concavité vers les y négatifs si et seulement si f’<0

Qu’appelle-t-on le point d’inflexion ?

2. Le point d’inflexion

On appelle point d’inflexion d’une courbe le point où la courbe traverse sa tangente.

Exemple : Déterminez le sens de la concavité et le point d’inflexion sur la courbe suivante :

f(x)=\(-\frac{1}{3}x^3+x^2+3x-1\)

f'(x)=-x²+2x+3.

f'(x)=-2x+2.

f'(x)=0↔ -2x+2=0↔-2x=-2↔x=1↔1

La courbe tourne sa concavité vers les y positifs dans]- Ꝏ, 1[et vers les y négatifs dans]- Ꝏ, + Ꝏ [.

Le point d’inflexion est (1 ; 8/3)

Déterminez le sens de concavité de la courbe représentation de la fonction f(x)=x⁴+2x³-3x²-4x+y.

Déterminez le point d’inflexion de la courbe représentative de la fonction f(x)=x³-6x²+9x-8.