Exercices sur le développement en série

a. Rappel

Quelle sont les formules de développement en série de :

1. Taylor ?

a. Rappel

\(f(x)=f(a)+\frac{f'(a)h}{1'}+\frac{f'(a)h^2}{2'}+\frac{f'(a)h^3}{3'}+.....+\frac{f(a)^nh^n}{n!}+R_n\)

2. Mac-Laurin

\(f(x)=f(o)+\frac{f'(o)(x)}{1'}+\frac{f'(o)x^2}{2'}+\frac{f'(o)x^3}{3'}+.....+\frac{f(o)^n(x)^n}{n!}+R_n\)

b. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

b. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier ou résoudre les exercices sur le développement en série.

Calculez le développement de :

a. Sin x

f(x)=sin x      →f(o)=sin o=o

f'(x)=cosx     →f'(o)=cos o=1

f''(x)=-sinx    →f''(o)=o

f'''(x)=-cosx  →f'''(o)=-1

f^π(x)=x-\(\frac{x^3}{6}\)      →f^π(o)=o

\(f(x)=x-\frac{x^3}{6}\)

b.\(\frac{1}{1-X}\)

\(\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}\)

f(o)=(1-O)^-1=1

f'(x)=-1(1-x)^-2(1-x)'=f''(o)=1

f''(x)2(1-x)^-3  → f''(o)=2

f''(x)=2.(-3)(1-x)^-4(-1)=6(1-x)^-4 f'''(o)=6

f^π(x)=24 (1-x)^-5 →f^π(o)=24.

f(x)=1+x+x³+x⁴+x⁵+x⁶+..........+nⁿ

Développez : \(\sqrt[]{1-x}\)

\(f(x)=\sqrt[]{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}f(x)=1\)

\(f'(x)=\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{-1}{2}}\)

\(f'(o)=\frac{(1)^{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{-1}{2}\)

\(f''(x)=\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{-1}{2}-1}=\frac{1}{4}(1-x)\frac{-3}{2}.\)

\(f'''(o)=-\frac{1}{4}(-\frac{3}{2}=-\frac{3}{8}(1-x)^{\frac{5}{2}}\)

\(f'''(o)=\frac{-3}{8}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4.2}-\frac{x^3}{8.2}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}\)

Développer \(\frac{1}{\sqrt[]{1+x}}\)

\(f(x)=(1+x)^{\frac{-1}{2}}\)

f(o)=1

\(f'(o)=-\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{-1}{2}-1}=-\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{-3}{2}}\)

\(f'(o)-\frac{1}{2}(1)^{\frac{-3}{2}}=\frac{-1}{2}\)

\(f''(x)=\frac{-1}{2}(-\frac{3}{2})(1+x)^{\frac{-3}{2}-1}=\frac{3}{4}(1+x)^{\frac{-5}{2}}\)

f''(o)=\(\frac{3}{4}\)