Méthode d’intégration : Changement de variable

a. Rappel

$\int x\sqrt[]{x} \, \mathrm dx$

a. Rappel

$\int x.x^{1/2} \, \mathrm dx$             $[\frac{x\frac{2}{2}-1}{\frac{3}{2}1}]+C$

$=\int x. 1+\frac{1}{2} \, \mathrm dx$

$=\int x^{3/2} \, \mathrm dx$             $\frac{x^{5/2}}{5}+C=\frac{2x^{5/2}}{5}+C$

b. Motivation

Que faut-il faire pour intégrer une fonction ?

b. Motivation

Pour intégrer une fonction, il faut calculer sa primitive.

Comment peut-on calculer une intégrale ?

Pour calculer une intégrale, il faut utiliser les méthodes d’intégration.

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier les méthodes d'intégration: changement des variables.

Quand est-ce qu’on peut utiliser la méthode par changement des variables  ?

METHODES D’INTEGRATION :

1. CHANGEMENT DES VARIABLES

* La fonction à intégrer est une primitive de f(x)

* La fonction à intégrer est  un produit de f(x).

* Les facteurs dont la dérivée de l’un donne l’autre.

* Est une fonction puissance (puissance d’un binôme).

* Est un quotient dont la dérivée du dénomination donne le numérateur.

N.B : Si il est une fonction de x, on :

$\int {\frac{du}{u}InIuI+C} \, \mathrm .$

Quand est- ce qu’on peut utiliser la méthode  par changement des variables  ?

Résolution

- Il faut  une condition préalable ;

- Différencier.

- Remplacer l’inconnue par sa valeur.

Exemple : calculer

∫ sin⁡(2x+3)  dx

Posons 2x + 3 = t

            2dt = dt

            dx =$\frac{dt}{2}$

 ∫sin⁡ t $\frac{dt}{2}$=   $\frac{1}{2}$∫Sin t dt   dx

                    =   $\frac{1}{2}$(-Cos t)+C

                    = $\frac{1}{2}$ Cos (2x + 3) + C

Calculez :

a. ∫$\frac{xdx}{1+x^2}$

b. ∫$\frac{xdx}{2+4x^2}$

c. ∫ ^4-3x dx.

Calculez ∫ Sinx.cosx.dx