Transformations combinées

a. Rappel

Trouvez les anciennes coordonnées des points A(1,3) sachant que les axes ont subit une rotation de 30°. Les axes forment l'angle de 60° ?

a. Rappel

x=\(\frac{sin⁡(60°-30°)+3sin⁡(60°-90°)}{sin60°}\)

Y=\(\frac{cos30°+3sin90°}{sin60°}\)

b. Motivation

Que donne x=a+x’cosɤ-y’sinɤ  et y= b+x’sinɤ+ycosɤ ?

b. Motivation

X= a+x’cosɤ-y’sinɤ   et y= b+x’sinɤ+ycosɤ donnent la transformation combinée.

Que parlerons-nous par rapport à ces deux formules ?

On parle de transformation de combinée.

c. Annonce du sujet

Que allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier la transformation combinée.

Transformation combinée

Une transformation combinée est une transformation qui est à la fois translation et rotation.

Sachant que:\(\left\{ \begin{array}{rcr} x=x'+a \\ y=y'+b \\ \end{array} \right.\)

\(\left\{ \begin{array}{rcr} \frac{x' sin⁡(θ-ɤ)+y'sin⁡(θ-ɤ')}{sinθ} \\ \frac{x' sin⁡ɤ+y'sinɤ'}{sinθ} \\ \end{array} \right.\)

Quelle est la formule générale de la transformation combinée ?

D'où

Que devienne la formule si θ= π /2

Si θ= π/2,  on a :

1. Devient l’équation 2x+y= 0     après une rotation de 60°sachant que l’origine est transportée au point A(0,1) ?

Si θ= π/2    A(0, 1)           l’équation devient :

X= a+x’cosɤ-y’sinɤ           \(2(x’/2-y’\sqrt[]{3}/2+1+\sqrt[]{3}/2x=0’\)

= 0+x’cos60°-y’sin60°

Y=b+x’sinɤ +y’cosɤ              \(2x’-2\sqrt[]{3y’}+2+\sqrt[]{3x’}+y’= 0\)

\(=1+\frac{\sqrt[]{3}}{2}X'+\frac{y'}{2} \)                                              \((2+\sqrt[]{(3)})x’+(1-2\sqrt[]{3})y’+2 = 0\)

Les axes sont rectangulaires ?

On donne le point P(1,5). On déplace les axes à une nouvelle origine 0’(-1,2). On fait subir en suite à ce nouveau système une rotation d’angle tel que artg\(\frac{5}{12}\) = ɤ

0 (0,0)   →  0’ (-1,2)       \(\left\{ \begin{array}{rcr} x=a+x' cosɤ-y'sinɤ\\ y=b+x' sinɤ+y'cosɤ\\ \end{array} \right.\)

a= -1  y= 5                   

b= 2   x= 1 

                                sin²ɤ= 1- cos²ɤ

\(arctg \frac{5}{12}\)                                \(1-\frac{144}{169}\)

cos²ɤ=\(=\frac{1}{1+tg^2ɤ}\)                     \(=\frac{169-144}{169}\)

=\(\frac{1}{1+(\frac{5}{12})^2}\)                               \(=\frac{25}{169}\)

\(cosɤ =\frac{12}{13}\)                        \(sinɤ=\frac{5}{13}\)

\(\left\{ \begin{array}{rcr} 1=-1+\frac{12}{13}x'-\frac{5}{13}y' \\ 5=2+\frac{5}{13}x'+\frac{12}{13}y'\\ \end{array} \right.\)