Inéquation logarithmiques

Rappel

Résoudre dans IR, l’équation suivante :

\(6^{2x}+\frac{1}{6^x} – 2 = 0\)

Rappel

Posons : t = 2x                      t² - 2t +1 = 0

        t² + 1/t – 2 = 0             ∆ = 4 – 4

                                                  = 0

                                             t₁ = t₂ = 2/2 = 1

\(log_2⁡ 1 = log_2 ⁡2x ==˃ x = 0\)

Motivation

Que représente cette expression log 3x+5  < 2

en math ?

Motivation

Log 3x+5  < 2 est une inéquation logarithmique.

De quoi s’agit-il ?

Il s’agit des inéquations logarithmiques.

Annonce du sujet

Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?

Annonce du sujet

Aujourd’hui nous allons étudier les inéquations logarithmiques.

Comment faut-il faire pour résoudre les inéquations logarithmiques ?

Inéquation logarithmiques

Pour résoudre une inéquation logarithmique, on procède de la manière suivante :

-Poser les conditions préalables d’existences des solutions.

- Résoudre l’inéquation en tenant compte de la base a.

* Si a ˃ 1, la fonction log_a est croissante ∀x,y ∈IR⁺ \(, log_? ? ≤ log_? ? <==˃ (x ≤ y)\)

* Si 0 < a < 1, la fonction log_a est décroissant

\(∀x,y ∈IR^+, log_a ⁡x ≤ log_a ⁡y <==˃ (x ≥ y).\)

Exemple : résoudre dans IR, l’inéquation suivante :

\(log_2⁡ x ˃ 3.\)

a ˃ 0 :   x ˃ 0

S₁ = ] 0, +∞ [

\(log_2 ⁡x >log_2⁡ 2^3 ==˃ x ˃ 8\)

S₂ =] 8, +∞ [

\(S = S1∩ S2 =] 0, +∞ [U] 8, +∞ [\)

Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :

\(log_{1/2}⁡ (x-3) + log_{1/2}⁡ (x-5) ≤ log_{1/2}⁡3\)

x-3 ˃ 0                         x-5 ˃ 0

x ˃ 3                             x ˃ 5

S₁ =] 3, +∞ [    ∩       S₂ =] 5, +∞ [   =] 5, +∞ [

\(log_{1/2}⁡ (x-3)(x-5) ≤ log_{1/2}⁡3\)

(x-3)(x-5) ≥ 3

X²-5x-3x+15-3 ≤ 0

X²-8x+12 = 0

∆ = 64-4(7)12

    = 64 – 48

    = 16

\(= ± \sqrt[]{16}\)

= ±4

                S₂ = ] -∞, 2] U [6, +∞[

S = S₁ ∩  S₂ = ] 5, +∞[ ∩  ]-∞, 2[ U ]6, +∞[

                   = ] 6, +∞[

Résoudre dans IR, l’inéquation suivante :

\(log_{1/2}⁡x ≤ log_{1/4}⁡ (3x-2)\)

\(log_{1/2}⁡x ≤ log_{1/4}⁡ (3x-2)\)

X ˃ 0

S₁ =] 0, +∞ [

3x – 2 ˃ 0

X ˃ 2/3

S₂ =] 2/3, +∞ [

S = S_1∩  S₂ = ] 0, +∞ [ ∩  ] 2/3, +∞ [ = ] 2/3, +∞ [

\(log_{1/2}⁡x ≤ log_({\frac{1}{2}^2})⁡ (3x-2)\)

\(log_{1/2} ⁡x ≤1/2 log_{1/2}⁡ (3x-2)\)

\(2log_{1/2}⁡x ≤ log_{1/2}⁡ 3x-2\)

\(log_{1/2}⁡ x^2≤ log_{1/2}⁡ 3x-2\)

X²- 3x + 2 ≥  0