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LES POLYNÔMES

Rappel

Effectuez : 

1.  3 x2 - 2 x + 4 - 6 x2 + 9 x - 5 + x2

2.   - b2 + 4 b2 - b2 + 5 b2 + 3 b2 - 7 b2

Motivation

Comment s'appelle une somme algébrique de plusieurs monômes ?

Annonce du Sujet

Qu'allons-nous étudier aujourd'hui ?

Analyse

Qu'est-ce qu'un polynôme ?

Comment peut-on réduire un polynôme ?

Quels sont les polynômes particuliers ?

Citez particulièrement les sortes de polynômes.

Quand un polynôme est complet ? 

Parlez du polynôme homogène ?

Parlez des polynômes égaux ?

Synthèse

Réduire les termes semblables dans les polynômes : 

x3 + 3 x2 - 2 x + 1 - 5 x + 1 - 7 x2 + 4 x3 - 10 - 2 x + 9 x3 - 8 + x2 - x.

1.  3 x2 - 2 x + 4 - 6 x2 + 9 x - 5 + x2

2.   - b2 + 4 b2 - b2 + 5 b2 + 3 b2 - 7 b2

  • 3 x2 - 6 x2 + x2 - 2 x + 9 x + 4 - 5
  • 2 b2

Une somme algébrique de plusieurs monômes s'appelle polynômes.

Aujourd'hui, nous allons étudier les polynômes.

Analyse

Définition

Un polynôme est une somme algébrique de plusieurs monômes.

P (x) = 2 x2 + x - 1 + 3 x3

Réduction d'un polynôme

Un polynôme est réduit s'il ne contient pas de monômes semblables ;

3 x2- 2 x + 4 a b + 6

Réduire un polynôme, c'est remplacer les monômes semblables par leur somme.

P (x) = - 2 x2 + 3 x - 3 + 4 x + 6 x - 9 x2

            + 4 x + 7

= - 11 x2 + 17 x + 4

Polynômes particuliers 

Si après réduction, un polynôme a un, deux, trois ou quatre termes, on l'appelle : 

Monôme a2 b

Binôme 2 x2 + 4

Trinôme 6 a b + 3 x - 4 b

Quadrinôme a3 + 2 a2 - 3 a + 2  

Degré d'un polynôme

Degré d'un polynôme par rapport à une lettre

Sortes de polynômes

Polynôme ordonné

Ordonnons le polynôme 3 a2 b2 x3 - 6 a3 b5 x + a2 b4 x2 - 4 a b3 + 5 b x4

Par rapport aux puissances décroissantes de x on a : 

5 b x4 + 3 a4 b2 x3 + a2 b4 x2 - 6 a3 b5 x - 4 a b3

Par rapport aux puissances de b.

5 b x4 + 3 a4 b2 x3 - 4 a b3 + a2 b4 x2 - 6 a3 b5 x

Polynôme complet

Le polynôme complet x5- 2 x4 + 3 x3 - 5 x2 + 6 x - 8 est un polynôme complet du 5ème degré en x.

Polynôme homogène

Dans le polynôme a3 b - 3 a2 b2 + b4 tous les termes sont des monômes de même degré (4ème degré) par rapport à a et b.

Polynômes égaux

Deux polynômes réduits à une variable, sont égaux lorsque les coefficients des termes de même degré sont égaux.

(a -1) x2 + 5 x + 6 et 3 x2 + (2 b - 3) x + 8 + C sont égaux on a : 

a - 1 = 3,  2 b - 3 = 5,  8 + C = 6.

Réduire les termes semblables dans les polynômes : 

x3 + 3 x2 - 2 x + 1 - 5 x + 1 - 7 x2 + 4 x3 - 10 - 2 x + 9 x3 - 8 + x2 - x.

a x3 + 4 x3 + 3 x2 - 7 x2 + x2 - 2 x -  5 x - 2 x - x + 1 + 1 - 10 - 8

17 x3 - 8 x2 - 8 x - 16