a. Rappel
Quelle sont les formules de développement en série de :
1. Taylor ?
a. Rappel
\(f(x)=f(a)+\frac{f'(a)h}{1'}+\frac{f'(a)h^2}{2'}+\frac{f'(a)h^3}{3'}+.....+\frac{f(a)^nh^n}{n!}+R_n\)
2. Mac-Laurin
\(f(x)=f(o)+\frac{f'(o)(x)}{1'}+\frac{f'(o)x^2}{2'}+\frac{f'(o)x^3}{3'}+.....+\frac{f(o)^n(x)^n}{n!}+R_n\)
b. Annonce du sujet
Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?
b. Annonce du sujet
Aujourd'hui nous allons étudier ou résoudre les exercices sur le développement en série.
Calculez le développement de :
a. Sin x
f(x)=sin x →f(o)=sin o=o
f'(x)=cosx →f'(o)=cos o=1
f''(x)=-sinx →f''(o)=o
f'''(x)=-cosx →f'''(o)=-1
fπ(x)=x-\(\frac{x^3}{6}\) →fπ(o)=o
\(f(x)=x-\frac{x^3}{6}\)
b.\(\frac{1}{1-X}\)
\(\frac{1}{1-x}=(1-x)^{-1}\)
f(o)=(1-O)-1=1
f'(x)=-1(1-x)-2(1-x)'=f''(o)=1
f''(x)2(1-x)-3 → f''(o)=2
f''(x)=2.(-3)(1-x)-4(-1)=6(1-x)-4 f'''(o)=6
fπ(x)=24 (1-x)-5 →fπ(o)=24.
f(x)=1+x+x3+x4+x5+x6+..........+nn
Développez : \(\sqrt[]{1-x}\)
\(f(x)=\sqrt[]{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}f(x)=1\)
\(f'(x)=\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{1}{2}-1}=\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{-1}{2}}\)
\(f'(o)=\frac{(1)^{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{-1}{2}\)
\(f''(x)=\frac{-1}{2}-\frac{1}{2}(1-x)^{\frac{-1}{2}-1}=\frac{1}{4}(1-x)\frac{-3}{2}.\)
\(f'''(o)=-\frac{1}{4}(-\frac{3}{2}=-\frac{3}{8}(1-x)^{\frac{5}{2}}\)
\(f'''(o)=\frac{-3}{8}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{4.2}-\frac{x^3}{8.2}=1-\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}-\frac{x^3}{16}\)
Développer \(\frac{1}{\sqrt[]{1+x}}\)
\(f(x)=(1+x)^{\frac{-1}{2}}\)
f(o)=1
\(f'(o)=-\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{-1}{2}-1}=-\frac{1}{2}(1+x)^{\frac{-3}{2}}\)
\(f'(o)-\frac{1}{2}(1)^{\frac{-3}{2}}=\frac{-1}{2}\)
\(f''(x)=\frac{-1}{2}(-\frac{3}{2})(1+x)^{\frac{-3}{2}-1}=\frac{3}{4}(1+x)^{\frac{-5}{2}}\)
f''(o)=\(\frac{3}{4}\)
