a. Rappel
Quelle sont les formules de développement en série de :
1. Taylor ?
a. Rappel
f(x)=f(a)+f′(a)h1′+f′(a)h22′+f′(a)h33′+.....+f(a)nhnn!+Rn
2. Mac-Laurin
f(x)=f(o)+f′(o)(x)1′+f′(o)x22′+f′(o)x33′+.....+f(o)n(x)nn!+Rn
b. Annonce du sujet
Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?
b. Annonce du sujet
Aujourd'hui nous allons étudier ou résoudre les exercices sur le développement en série.
Calculez le développement de :
a. Sin x
f(x)=sin x →f(o)=sin o=o
f'(x)=cosx →f'(o)=cos o=1
f''(x)=-sinx →f''(o)=o
f'''(x)=-cosx →f'''(o)=-1
fπ(x)=x-x36 →fπ(o)=o
f(x)=x−x36
b.11−X
11−x=(1−x)−1
f(o)=(1-O)-1=1
f'(x)=-1(1-x)-2(1-x)'=f''(o)=1
f''(x)2(1-x)-3 → f''(o)=2
f''(x)=2.(-3)(1-x)-4(-1)=6(1-x)-4 f'''(o)=6
fπ(x)=24 (1-x)-5 →fπ(o)=24.
f(x)=1+x+x3+x4+x5+x6+..........+nn
Développez : √1−x
f(x)=√1−x=(1−x)12f(x)=1
f′(x)=12(1−x)12−1=12(1−x)−12
f′(o)=(1)122=−12
f″(x)=−12−12(1−x)−12−1=14(1−x)−32.
f‴(o)=−14(−32=−38(1−x)52
f‴(o)=−38=1−x2−x24.2−x38.2=1−x2−x28−x316
Développer 1√1+x
f(x)=(1+x)−12
f(o)=1
f′(o)=−12(1+x)−12−1=−12(1+x)−32
f′(o)−12(1)−32=−12
f″(x)=−12(−32)(1+x)−32−1=34(1+x)−52
f''(o)=34
