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Construction de l'ensemble C des nombres complexes

Exemple de situation :

Pendant leur leçon de mathématiques, les élèves de 4ème année des HSC de l’Institut 1 BUTA dans le Bas-Uélé ont reçu, parmi les exercices à résoudre en prérequis, l’équation du deuxième degré suivant :  x2+2x+2=0.

Tous les élèves sont parvenus à conclure que les solutions de cette équation n’existent pas dans R parce que le discriminant est un nombre négatif. L’enseignant leur demande de : a) Poursuivre la recherche des racines de ces équations en posant, dans le discriminant, i2= -1 ; b) Trouver d’autres équations de ce type ; c) Dire si ces racines sont des nombres réels. Justifier la réponse.

Résoudre dans R les équations suivantes :

  1. 6x2+7x-3=0
  2. 9x2+6x+1=0
  3. 3x2-x+2=0
  1. Motivation (découverte)

L’enseignant demande aux élèves de (d’) :

  • Lire la situation en silence, ensuite à haute voix par deux ou trois élèves ;
  • Expliquer la situation en leurs propres termes.

Organisation de la classe et consigne

  • Regroupement des élèves à cinq groupes.
  • Consigne :
  1. Résoudre l’équation donnée dans l’exemple de situation en procédant comme indiqué dans le texte ;
  2. Constater à la résolution l’inexistence des solutions de l’équation donnée dans R ;

Dégager les parties réelle et imaginaire des racines écrites sous forme Z=a + bi, a et b étant des réels

Calculons le discriminant ou réalisant de l’équation :

Δ=b24ac

Δ=72-4.6.(-3)=121>0

L’équation admet deux racines réelles distinctes

L’équation admet une racine double.

Activités sur le tableau de spécification

  • Regroupement organisé.
  • Actions à mener :
  1. Restitution des étapes de résolution d’une équation du second degré ;
  2. Traitement de la situation.

L’équation n’a pas de solution dans R.

  1. Compréhension de la situation
  • Lecture de la situation en silence et à haute voix par un ou deux élèves désignés ;
  • Explications données par deux ou trois élèves et adoption par toute la classe.
  1. Pour résoudre l’équation du second degré, il faut :
  • Calculer le discriminant ou réalisant de l’équation ;
  • Trouver le signe du discriminant.

Trois cas sont possibles :

1er cas : Δ>0, l’équation admet deux racines réelles distinctes xet  x2  et  S= {x1, x2. } Le trinôme ax2+ bx + c  se factorise en a(x - x1)(x-x2).

2ème cas : Δ=0, l’équation admet une racine réelle double x1=x2 et  S= {x1}. Le trinôme ax2+bx+c se factorise en a(x-x1)2.

3ème cas : Δ<0, l’équation n’a pas des racines réelles et S= { }  . Le trinôme ax2+ bx + c ne se factorise pas.