Logique Binaire

Rappel

Quelques questions de révision aux élèves :

Qu'est-ce qu’un nombre entier ?

Rappel

Un nombre entier est tout chiffre allant de 0 à 9  mais qui ne possède pas une virgule.

De quoi est caractérisé un nombre décimal ?

Un nombre décimal est caractérisé par une virgule.

Motivation

Sur quoi sera basée cette leçon ?

Motivation

Cette leçon sera basée sur les deux nombres.

Annonce de la nouvelle leçon

Extraire les réponses venant des élèves pour ressortir le titre de la leçon.

Annonce de la nouvelle leçon

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Aujourd'hui, nous allons étudier la logique binaire.

Résumé dans les cahiers des élèves.

Système Binaire

Le système de numération binaire est un système fondé sur la position des chiffres dont la base B=2 ,ses deux chiffres sont  notés 0 et 1, et sont appelés bits.

Dans ces conditions, tout nombre binaire est une séquence des bits qui peut comporter une virgule binaire.

Pour écrire les différents nombres, on les représente par des puissances de 2.

Système décimal

Dans ce système, il y a 10 digits notés : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 les nombres 3997 et 195, 28 exprimés en  décimal signifient :

3997 = 3x10³ + 9 x10² + 9 x 10¹ + 7 x 10⁰

195,28  = 1x10²+9x10¹ + 5x10⁰ + 2x10^-1+ 8x10^-2

Convention : En base 10, on ne note pas (3997) ₁₀ ou (195,28)₁₀ mais 3997 ou 195,28.

Système Binaire :

Le mathématicien et philosophe allemand Leibniz (1946-1716) a été l'un des premiers à étudier la numération  binaire.

Mais le système binaire est réellement utilisé depuis le XIX^ème siècle et les travaux du mathématicien anglais.

George Boole (l’algèbre de boole sera abordée au chapitre 3). C’est aujourd’hui le système qui permet de traiter et représenter  les informations par ordinateur.

Dans ce système, la base b est 2 il y a 2 digits notés : 0 et 1  

Les  nombres 1101 et 101, 01 exprime en binaire signifient :

(1101)₂ = 1x2³+1x2²+0x2¹= 1x8+1x4+0x2+1x1

           = 13 (en base 10)

(101,01) = 1x2²+0x2¹+1×2⁰+0x2^-1+1x2⁰

             = 1x4+0x2+1x1 x 1+0x0,5+1x0,25 = 5,25

Système octal

Dans ce système la base B et 8. Il digit notés : 0, 1, 2, 3, 4, 5,6 et 7. Les nombres 547 et 47,12 exprimés en octal signifient :

(547)₈ = 5x8²+4x8¹+7x8 = 5x64+4x8+7x1=359 (en base de 10)

Système Hexadécimal

Dans ce système la base B est 16.

Il y a 16 digits notés : 0,1,2,3,…9,A, B, C, D, E, F ou 0,1,2,3,…9,10,11,12,13,14,15

Les nombres 1A5F et 5F, 2 exprimés en octal signifient :

(1A5F)₁₆= 1x16³+Ax16²+5x16¹+Fx16⁰= 1x4096+10x256+5x16+15x1= 6751

(5F2)₁₆=5x16¹+Fx16⁰+2x16^-2= 5x16+15x1+0,0625=95,125 (en base 10)

Vocabulaire

Un « bit » (contraction américaine de binaire digit) est un digit du système binaire. Un « mot » (word en américain) est un ensemble de bits dont il faut préciser le nombre.

Par exemple : Un mot de 16 bits, un mot de 12 bit.

Sera nécessaire pour exprimer un nombre  compris entre 0 et 1023.

Un « Quarter » (Nibble en amécain) est un mot de 4 bits un «Octet » (Byte en américain) est un mot de 8  bits.

Le « bit de poids faible » (LSB en américain, Less signifiant bit) est le bit situé le plus à droite, donc de plus faible poids. Le « bit de poids fort » (MSB. En américain, most signifiant Bit) est le bit situe le plus à gauche.

En unité de capacité de traitement numérique un « Kilo » = 2¹⁰ =  1024

Un « ko » = 1 kilo octet = 1024 octets

Un « Mo » = 1 Méga octet =  1024 Ko

Un « Go » = 1 giga octet = 1024 Mo

A la fin de la leçon, quelques questions synthétiques de la leçon.

Quelles sont l’équivalence de ces écritures ?

1. (10 100)₂ = ? (base de 10)

2. (4583)₈ = ? (base de 10)

3. (4AF) ₁₆ = ? (base de 10)