Propriété de la dérivée première: croissante et decroissante

a. Rappel

En quel point de la tangente à la courbe d'équation y=x³-3x+1 est-elle perpendiculaire à l'axe du y?

a. Rappel

y'=3x²-3             si x_o=1

0=3x₀²-3               y_o=1³-3.1+1=-1

x_o²=1.

\(x_o=±\sqrt[]{1}=±1.\)                                 Si x_o=1=(-1)³-3(-1)+1=3.

b. Motivation

Soit f(x)=2x+3≥0 et g(x)=\(\sqrt[]{3}-2x≤0\)

Comparer ces fonctions ?

b. Motivation

La fonction f(x)=2x+3≥0 est croissante et g(x)= \(\sqrt[]{3}-2x≤0\)              est décroissante.

c. Annonce du sujet

Qu'allons nous étudier aujourd'hui en math ?

c. Annonce du sujet

Aujourd'hui nous allons étudier la propriété de la dérivée première : croissance et décroissante.

Comment peut-on déterminer la croissance et la décroissance d'une fonction ?

1. Croissance et décroissance

Pour déterminer si une fonction est croissante ou décroissante, on étudie les zéros et les signes de la dérivée de f'(x) ou y'.

* Si y' ≥0, la fonction est croissante.

* Si y' ≤0, la fonction est décroissante.

NB: Dans le tableau des signes de f' , on utilise la flèche montante ↗ pour une fonction croissante et la flèche descente ↘ pour une fonction décroissante.

Exemple: déterminer les intervalles sur lesquelles cette fonction est souvent croissante ou décroissante.

f(x)=x²-3x+2.

f'(x)=2x-3→f'(x)=0 →2x-3=0→x=3/2

\(f(\frac{3}{2})=(\frac{3}{2})^2-3(\frac{3}{2})+2=-1/4\)

f est croissante dans [3/2, +Ꝏ[

f est décroissante dans ]-Ꝏ,\(\frac{3}{2}\) ]

Déterminez l'intervalle pour lequel la fonction est croissante et décroissante y=-(x-3)²(x+3).

y'=-[(x-3)²]'(x+3)+(x+3)'(x-3)²=-2(x-3).(x-3)+(x-3)²=(x-3)(-2x+3+x-3)=(x-3)(-x)=-3(x-3)(x+1).

y'=0 → x-3=0,  x+1=0

             x=3      x=-1

La fonction est croissante dans [-1, 3]

La fonction est décroissante dans ]- Ꝏ, -1] U [3, +Ꝏ.

a. Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction f est croissante ou décroissante.

\(y=\frac{4x+1}{2x+1}\)

a. Déterminez les intervalles sur lesquels la fonction f est croissante ou décroissante.

\(y'=\frac{(2x+1)'(4x-1)'-(4x-1)'(2x+1)}{(2x+1)^2}=\frac{(4(2x+1)-2(4x-1)}{(2x+1)^2}=\frac{(3x+4-8x+2)}{(2x+1)^2}=\frac{6}{(2x+1)^2}→2x+1=0 →x=-1/2.\)

b. \(y=\frac{1}{3}x^3-x^2-3x+5\)

\(y=\frac{4.\frac{(-1}{2})}-1{2.(\frac{(-1}{2})+1}=\frac{-2-1}{0}=- Ꝏ\)