Rappel
Calculez : \(\frac{log5-4 log3+3 log3+log2}{log4-log2}\)
Rappel
\(\frac{log5-log3^4+log3^3+log2}{log \frac{4}{2}}=\frac{log5+log27+log2-log3^4}{log4/2}\\ log\frac{\frac{5.27.2}{81}}{2}=\frac{\frac{270}{81}}{2}=log\frac{\frac{10}{3}}{2}=log\frac{10}{3}.\frac{1}{2}=log\frac{10}{6}\)
Motivation
Quel est l’exposant de ce logarithme ?
\(log_2 (x+1) ?\)
Motivation
L’exposant de ce logarithme est x+1.
Que représente x+1 en algèbre ?
X+1 représente l’équation.
Annonce du sujet
Qu’allons-nous étudier aujourd’hui en math ?
Annonce du sujet
Aujourd’hui nous allons étudier les équations logarithmiques ?
Qu’est-ce qu’une équation logarithmique ?
Equations logarithmiques
a. Définition : une équation logarithmique est toute équation où l’inconnue intervient dans l’expression du logarithme.
Comment peut-on résoudre une équation logarithmique ?
b. Résolution : pour résoudre une équation logarithmique, on procède comme suit :
- Poser les conditions d’existence des solutions de l’équation.
- Ramener éventuellement les logarithmes à la même base.
- Utiliser les propriétés des logarithmes pour obtenir loga4 = logav <=> u = v.
- retenir les valeurs de l’inconnue qui vérifie les conditions posées ci-dessous
Exemple : résoudre dans IR, l’équation logarithmique suivante : log(x+1) =log32
Cp : x+1 ˃ 0
<=> x > -1
] -1, +∞ [
log3(x+1)=log32 <=> x+1 =2
<=> x = 2-1
X = 1
S = {1}
Résoudre dans IR, les équations ci-dessous :
\(a. log_2 (x+14)+ log_2 (x+2) = 6\)
Condition : x+14 ˃ 0
x˃ -14
] -14, +∞ [
] -2, +∞ [
\(log_2 (x+14)(x+2)=6 log_2 2\)
\(X²+2x+14x+28 = 64\)
\(X²+16x+28-64 = 0\)
\(=16²-4(1)(-36)\)
\(= 256+144\)
= 400
\(\sqrt[]{∆} = ±\sqrt[]{400}\)
= ±20
S = {2} seul le réel 2 vérifie la condition posée.
Résoudre dans IR, l’équation suivante :
\(log_3x= 1/2 + log_9 (4x+15)\)
X ˃ 0 et 4x+15 ˃ 0
X ˃ -15/4
]0, +∞[
] -15/4, +∞[
\(log_3 x = ½ log_3 3+log_3 2 (4x+15)\\ log_3 x=1/2 log_3 3+1/2 log_3 4x+15\\ 2log_3 x = log_3 3 (4x+15)\\ log_3 x^2 = log_3 12x+45\\ X²-12x-45 = 0\\ ∆ = 144-4(1)(-45)\\ = 144+180\\ \sqrt[]{∆} = ± \sqrt[]{324}\\ = ±18 \)
S = {15}
