Rappel
Quelle est l’équation générale de l’hyperbole ?
Rappel
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\)
Déterminer l’équation de l’asymptote d’une hyperbole ?
\(y = ± \frac{a}{b} x\)
Comment calculer la longueur de la corde focale ?
\(LR = \frac{2b^2}{a} \)
Annonce du sujet
Qu'allons-nous étudier aujourd'hui en math ?
Annonce du sujet
Aujourd’hui, nous allons étudier ou résoudre les exercices sur l’hyperbole.
On donne l’hyperbole d’équation
4y2 – 2x2 - 8 = 0. Déterminer les coordonnées de sommets, les foyers, le latus rectum, excentricité, les équations des directrices les équations d’asymptote
Analyse
EXERCICES SUR L’HYPERBOLE.
\(4y^2 – 2x^2 - 8 = 0\\ a^2 = 2\\ b^2 = 4\\ \frac{4y^2}{8} - \frac{2x^2}{8} = 0\\ \frac{2y^2}{2} - \frac{2x^2}{4} = 1 \)
\((0, - \sqrt[]{2}) et (0,\sqrt[]{2}), (0, - 2) \\ et \\ (0,2)\\ 2. Foyers : (0,-\sqrt[]{2}) (0,\sqrt[]{6})\\ 3. e = \frac{a}{a} = \frac{\sqrt[]{6}}{\sqrt[]{2}} = \frac{\sqrt[]{2} .\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{2}} = \sqrt[]{2}\\ 4. LR = \frac{2.4}{\sqrt[]{2}} = \frac{8\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{2}} = 4\sqrt[]{2}\)
5. Les équations de directrices
\( y = ± \frac{\sqrt[]{2}}{\sqrt[]{3}} = ± \frac{\sqrt[]{2} .\sqrt[]{3}}{3} = ± \frac{\sqrt[]{6}}{3} \)
6. Les équations d’asymptotes
\(y = ± \frac{a}{b} x = \frac{\sqrt[]{2}}{2} x\)
Trouver l’équation de l’hyperbole, d’axes parallèle aux axes de coordonnées à l’origine, sachant que la longueur de la corde focale perpendiculaire à l’axe est de 18 et que la distance des foyers (distance focale vaut 12)
LR = 18 2c = 12
2c = 12 c = \(\frac{12}{2} = 6\)
Or LR = \(\frac{2b^2}{a}\) c2 = a2 + b2
18 = \(\frac{2b^2}{a}\) 36 = a2 + 9a
18 a = 2b2 a2 + 9a – 36 = 0
a = \(\frac{2b^2}{18}\) ∆ = 81 + 144
\(a = \frac{b^2}{9}\\ \sqrt[]{∆} = ± \sqrt[]{225} = ± 15\\ b^2 = 9a \)
a = 3
b2 = 9.3 = 27
\(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\\ \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{27} = 1 \)
Trouver l’équation de l’hyperbole ayant pour centre l’origine, pour un des sommets (6,0) et pour équation une des asymptote 4x – 3y = 0
Trouver l’équation de l’hyperbole ayant pour centre l’origine, pour un des sommets (6,0) et pour équation une des asymptote 4x – 3y = 0.